क्वाड्रेटिक इक्वेशन (Quadratic Eq | Calculator Dekhouation)
क्वाड्रेटिक इक्वेशन क्या है?
क्वाड्रेटिक इक्वेशन एक प्रकार का एल्जेब्रिक समीकरण है, जिसका सामान्य रूप इस प्रकार होता है:
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
यहाँ:
- \\(a, b, c\\): वास्तविक संख्याएँ (real numbers)।
- \\(a \\neq 0\\): \\(a\\) शून्य नहीं होना चाहिए।
- \\(x\\): वह चर (variable) जिसका हल निकालना होता है।
\\(a\\): क्वाड्रेटिक टर्म का गुणांक (coefficient of the quadratic term)।
\\(b\\): लीनियर टर्म का गुणांक (coefficient of the linear term)।
\\(c\\): स्थिरांक (constant term)।
क्वाड्रेटिक इक्वेशन का महत्व
क्वाड्रेटिक इक्वेशन गणित और विज्ञान में बहुत उपयोगी है। इसका उपयोग निम्नलिखित क्षेत्रों में होता है:
- भौतिकी: प्रक्षेप्य गति (projectile motion) और वस्तुओं की गति।
- इंजीनियरिंग: स्ट्रक्चरल डिज़ाइन और मेकेनिकल विश्लेषण।
- वित्त: अधिकतम लाभ और न्यूनतम हानि की गणना।
- कंप्यूटर साइंस: एल्गोरिद्म डिजाइन और एनिमेशन।
क्वाड्रेटिक इक्वेशन को हल करने के तरीके
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फैक्टराइजेशन विधि (Factorization Method)
समीकरण को ऐसे दो कारकों (factors) में विभाजित किया जाता है जिनका गुणनफल \\(ac\\) के बराबर हो और जोड़ \\(b\\) के बराबर हो।
उदाहरण:
$$ x^2 + 5x + 6 = 0 $$
इसे लिखा जा सकता है:
$$ (x + 2)(x + 3) = 0 $$
हल: \\(x = -2\\) और \\(x = -3\\)
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पूर्ण वर्ग विधि (Completing the Square)
इस विधि में समीकरण को \\(x\\) के पूर्ण वर्ग के रूप में लिखा जाता है।
उदाहरण:
$$ x^2 + 4x - 5 = 0 $$
इसे लिखा जा सकता है:
$$ (x + 2)^2 = 9 $$
हल: \\(x = 1\\) और \\(x = -5\\)
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क्वाड्रेटिक फॉर्मूला (Quadratic Formula)
यह सबसे सामान्य और प्रभावी विधि है।
$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
डिस्क्रिमिनेंट \\(D\\):
$$ D = b^2 - 4ac $$
डिस्क्रिमिनेंट के आधार पर:
- \\(D > 0\\): दो वास्तविक और भिन्न जड़ें।
- \\(D = 0\\): दो वास्तविक और समान जड़ें।
- \\(D < 0\\): दो काल्पनिक जड़ें।
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ग्राफिकल विधि (Graphical Method)
क्वाड्रेटिक इक्वेशन का ग्राफ एक परवलय (parabola) होता है। \\(x\\)-इंटरसेप्ट्स (जहाँ ग्राफ \\(x\\)-अक्ष को काटता है) समीकरण के हल होते हैं।
उदाहरण
समीकरण: \\(2x^2 + 4x - 6 = 0\\)
यहाँ: \\(a = 2, b = 4, c = -6\\)
डिस्क्रिमिनेंट:
$$ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(2)(-6) = 16 + 48 = 64 $$
जड़ें:
$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{D}}{2a} = \\frac{-4 \\pm 8}{4} $$
हल: \\(x = 1\\) और \\(x = -3\\)